Matematicas Aplicada - Por Fracciones Parciales

El método de las fracciones parciales consiste en reducir un cociente de polinomios en fracciones más simples, que permitan obtener de manera inmediata una integral o una transformada de Laplace Inversa. El requisito más importante es que el grado del polinomio del denominador sea estrictamente mayor que el grado del numerador.

Definimos fracciones parciales a la función F(x) en la cual dicha función depende de un numerador y un denominador. Para que sea una fracción parcial el grado del denominador tiene que ser mayor al grado del numerador.

Las integrales por fracciones parciales es de la forma $\int\frac{P(x)}{Q(x)}\;dx$ donde:

$P (x)$ y $Q (x)$ son polinómios
El grado de $P (x)$ es menor que el de $Q (x)$

NOTA

Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones más simples.
En álgebra, fracción parcial, descomposición o extensión parcial de la fracción se utiliza para reducir el grado de el numerador o el denominador de a función racional. El resultado de la extensión parcial de la fracción expresa esa función como la suma de las fracciones, donde:

- El denominador de cada término es irreducible (no factorizable) polinómico y,

- El numerador es un polinomio de un grado más

Caso I (Factores Lineales Distintos)

En este caso tenemos que los factores del denominador son todos factores lineales distintos.

$Q (x) = (a 1 x + b 1)(a 2 x + b 2)(a 3 x + b 3)...(a n x + b n)$ $a$ y $b$ son constantes, proponer:

$\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{A_{1}}{a_{1}x+b_{1}}\;+\frac{A_{2}}{a_{2}x+b_{2}}+\dots+\frac{A_{n}}{a_{n}x+b_{n}}$ (1)

Encontrar $A 1, A 2, A n$

Ejemplo Caso I

Sea $f(x)=\frac{1}{x^2+x-6}$ .

Primero factorizamos el denominador nos quedaría $f(x)=\frac{1}{(x+3)(x-2)}$

Tenemos entonces dos factores lineales no repetidos usamos el caso I para escribir

$\frac{1}{(x+3)(x-2)}=\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x-2}$

Caso II (Factores Lineales Repetidos)

Si tenemos $f(x)=\frac{2x+1}{(x+1)^3(x-1)(x-2)}$

en el denominador $Q (x) = (x + 1) 3 (x - 1)(x - 2)$ podemos ver que tenemos que tenemos los factores lineales $(x - 3) 3$ , $x - 1$ y $x - 2$

Para $(x - 1)$ y $(x - 2)$ usamos el caso I entonces escribimos $\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}$
Para $(x + 1) 3$ usamos el caso II entonces escribimos $\frac{C}{x+1}+\frac{D}{(x+1)^2}+\frac{E}{(x+1)^3}$

Ahora juntamos las fracciones anteriores y obtenemos, $\frac{2x+1}{(x+1)^3(x-1)(x-2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x+1}+\frac{D}{(x+1)^2}+\frac{E}{(x+1)^3}$

Caso III (Factores Cuadráticos Irreducibles)

Si $Q (x)$ tiene un factor de la forma $a x 2 + b x + c$ , donde $b 2 - 4 a c < 0$ (esto nos dice que no se puede expresar $a x 2 + b x + c$ como la multimplicacion de dos fatores lineales pues la solución de la cuadratica es compleja) además de las fracciones parciales de (1) y (2) entonces la expresión para $\tfrac{P(x)}{Q(x)}$ tendrá un término de la forma $\tfrac{Ax+B}{ax^2+bx+c}$

Ejemplo Caso III

Sea $f(x)=\frac{x}{(x+1)^2(x^2+1)}$ podemos notar que $x 2 + 1$ es una cuadrática irreducible ya que su solución es compleja entonces para este factor escribimos una suma de la forma $\frac{Ax+B}{x^2+1}$ y para el factor $(x + 1) 2$ escribimos las fracciones

$\frac{C}{x+1}+\frac{D}{(x+1)^2}$

Sumamos estas fracciones y tenemos la expresion en fraciones parciales para $f (x)$

$\frac{x}{(x+1)^2(x^2+1)}=\frac{Ax+B}{x^2+1}+\frac{C}{x+1}+\frac{D}{(x+1)^2}$

Caso IV (Factor Cuadrático Irreducible repetido)

Si $Q (x)$ tiene un factor de la forma $(a x 2 + b x + c) r$ , donde $b 2 - 4 a c < 0$ , luego en lugar de la única fracción parcial $\tfrac{Ax+B}{ax^2+bx+c}$ , escribimos la suma

$\frac{A_1x+B_1}{ax^2+bx+c}+\frac{A_2x+B_2}{(ax^2+bx+c)^2}+\dots+\frac{A_rx+B_r}{(ax^2+bx+c)^r}$

Ejemplo Caso IV

Sea $f(x)=\tfrac{2x+1}{(x-1)^3(x^2+4)^2}$ usamos el Caso II y el Caso IV y nos queda

$\frac{2x+1}{(x-1)^3(x^2+4)^2}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{(x-1)^3}+\frac{Dx+E}{x^2+4}+\frac{Fx+G}{(x^2+4)^2}$

Caso V (Fracción Impropia)

Si $f(x)=\tfrac{P(x)}{Q(x)}$ es una fracción impropia (es decir, el grado de $P (x)$ es mayor o igual que el de $Q (x)$ entonces dividir $P (x)$ por $Q (x)$ para obtener:

$\frac{P(x)}{Q(x)}=(\text{Un polinomio})+\frac{P_1(x)}{Q(x)}$

Donde el grado de $P 1 (x)$ es menor que el grado de $Q (x)$

Ejemplo Caso V

Sea $f(x)=\tfrac{2x^3-4x^2-15x+5}{x^2-2x-8}$ podemos notar que el grado del numerador $2 x 3 - 4 x 2 - 15 x + 5$ es 3 y es mayor que el grado del denominador $x 2 - 2 x - 8$ que es 2 por lo que la fracción es un fracción impropia entonces hacemos division larga,

Entonces podemos escribir $f(x)=2x+\frac{x}{x^2-2x-8}$

donde en la fracción $\tfrac{x}{x^2-2x-8}$ el grado del numerador es menor que el grado del denominador entonces ya podemos aplicar los métodos antes mencionados.