Matematicas Aplicada - Por Sustitucion Trigonometrica

Integración por sustitución trigonométrica

Las sustituciones que involucran funciones trigonométricas se pueden llevar a cabo en aquellas integrales cuyo integrando contiene una expresión de la forma:

$\displaystyle {\sqrt{a^{2} - b^{2}x^{2}},\;\sqrt{a^{2} + b^{2}x^{2}}, \sqrt{b^{2}x^{2} - a^{2}}}$ con y

La sustitución trigonométrica permite transformar una integral en otra que contiene funciones trigonométricas cuyo proceso de integración es más sencillo.

Estudiaremos cada uno de los casos como sigue:

El integrando contiene una función de la forma $\displaystyle {\sqrt{a^{2} - b^{2}x^{2}}}$ con $a>0\; , \;b>0$

Se hace el cambio de variable escribiendo

$\displaystyle {x =\frac{a}{b}\;sen\;\theta,}$ donde $\theta \varepsilon \left]\frac{-\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2}\right[\; y \;x\;\varepsilon \left]\frac{-a}{b}, \frac{a}{b}\right[$

Si $\displaystyle {x =\frac{a}{b}\;sen\;\theta}$ entonces $dx = \frac{a}{b}\;cos\;\theta\;d\theta$

Además:

$\displaystyle {=\sqrt{a^{2}(1-sen^{2}\theta)} = \sqrt{a^{2}\;cos^{2}\theta} = \vert a\;cos\;\theta\vert = a\;cos\;\theta,}$ pues y como

$\displaystyle {\theta \varepsilon \left]\frac{-\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2}\right[}$ entonces $cos\;\theta>0$ por lo que $\vert a\;cos\;\theta\vert = a\;cos\;\theta$

Luego: $\displaystyle {\sqrt{a^{2} - b^{2}x^{2}} = a\;cos\;\theta}$

Como $\displaystyle {x =\frac{a}{b}\;sen\;\theta}$ entonces $sen\;\theta = \frac{bx}{a} \; y\; \theta = arcsen\left(\frac{bx}{a}\right)$

Para este caso, las otras funciones trigonométricas pueden obtenerse a partir de la figura siguiente: